Arthur Benjamin – A Magia Dos Números De Fibonacci

So why do we learn mathematics?

Então, por que aprendemos matemática?

Essentially, for three reasons:

Essencialmente, por três razões:

calculation,

cálculo,

application,

aplicação,

and last, and unfortunately least

e por último, e infelizmente o menos

in terms of the time we give it,

em termos do tempo que dedicamos a ela,

inspiration.

inspiração.

Mathematics is the science of patterns,

A matemática é a ciência dos padrões,

and we study it to learn how to think logically,

e nós a estudamos para aprender a pensar logicamente,

critically and creatively,

criticamente e criativamente,

but too much of the mathematics that we learn in school

mas muito da matemática que aprendemos na escola

is not effectively motivated,

não é efetivamente motivada,

and when our students ask,

e quando nossos alunos perguntam,

"Why are we learning this?"

"Por que estamos aprendendo isso?"

then they often hear that they'll need it

eles frequentemente ouvem que precisarão dela

in an upcoming math class or on a future test.

em uma próxima aula de matemática ou em um teste futuro.

But wouldn't it be great

Mas não seria ótimo

if every once in a while we did mathematics

se de vez em quando fizéssemos matemática

simply because it was fun or beautiful

simplesmente porque era divertido ou bonito

or because it excited the mind?

ou porque estimulava a mente?

Now, I know many people have not

Agora, eu sei que muitas pessoas não tiveram

had the opportunity to see how this can happen,

a oportunidade de ver como isso pode acontecer,

so let me give you a quick example

então, deixe-me dar um exemplo rápido

with my favorite collection of numbers,

com minha coleção favorita de números,

the Fibonacci numbers. (Applause)

os números de Fibonacci. (Aplausos)

Yeah! I already have Fibonacci fans here.

Sim! Já tenho fãs de Fibonacci aqui.

That's great.

Isso é ótimo.

Now these numbers can be appreciated

Agora, esses números podem ser apreciados

in many different ways.

de muitas maneiras diferentes.

From the standpoint of calculation,

Do ponto de vista do cálculo,

they're as easy to understand

eles são tão fáceis de entender

as one plus one, which is two.

quanto um mais um, que é dois.

Then one plus two is three,

Depois, um mais dois é três,

two plus three is five, three plus five is eight,

dois mais três é cinco, três mais cinco é oito,

and so on.

e assim por diante.

Indeed, the person we call Fibonacci

Na verdade, a pessoa que chamamos de Fibonacci

was actually named Leonardo of Pisa,

na verdade se chamava Leonardo de Pisa,

and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"

e esses números aparecem em seu livro "Liber Abaci",

which taught the Western world

que ensinou ao mundo ocidental

the methods of arithmetic that we use today.

os métodos de aritmética que usamos hoje.

In terms of applications,

Em termos de aplicações,

Fibonacci numbers appear in nature

os números de Fibonacci aparecem na natureza

surprisingly often.

com surpreendente frequência.

The number of petals on a flower

O número de pétalas em uma flor

is typically a Fibonacci number,

é tipicamente um número de Fibonacci,

or the number of spirals on a sunflower

ou o número de espirais em um girassol

or a pineapple

ou um abacaxi

tends to be a Fibonacci number as well.

tende a ser um número de Fibonacci também.

In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers,

De fato, há muitas outras aplicações dos números de Fibonacci,

but what I find most inspirational about them

mas o que acho mais inspirador neles

are the beautiful number patterns they display.

são os belos padrões numéricos que eles exibem.

Let me show you one of my favorites.

Deixe-me mostrar um dos meus favoritos.

Suppose you like to square numbers,

Suponha que você goste de elevar números ao quadrado,

and frankly, who doesn't? (Laughter)

e, francamente, quem não gosta? (Risadas)

Let's look at the squares

Vamos olhar para os quadrados

of the first few Fibonacci numbers.

dos primeiros números de Fibonacci.

So one squared is one,

Então, um ao quadrado é um,

two squared is four, three squared is nine,

dois ao quadrado é quatro, três ao quadrado é nove,

five squared is 25, and so on.

cinco ao quadrado é 25, e assim por diante.

Now, it's no surprise

Agora, não é surpresa

that when you add consecutive Fibonacci numbers,

que, ao somar números de Fibonacci consecutivos,

you get the next Fibonacci number. Right?

você obtém o próximo número de Fibonacci. Certo?

That's how they're created.

É assim que eles são criados.

But you wouldn't expect anything special

Mas você não esperaria nada de especial

to happen when you add the squares together.

acontecer ao somar os quadrados.

But check this out.

Mas veja isto.

One plus one gives us two,

Um mais um nos dá dois,

and one plus four gives us five.

e um mais quatro nos dá cinco.

And four plus nine is 13,

E quatro mais nove é 13,

nine plus 25 is 34,

nove mais 25 é 34,

and yes, the pattern continues.

e sim, o padrão continua.

In fact, here's another one.

De fato, aqui está outro.

Suppose you wanted to look at

Suponha que você quisesse olhar para

adding the squares of the first few Fibonacci numbers.

a soma dos quadrados dos primeiros números de Fibonacci.

Let's see what we get there.

Vamos ver o que obtemos ali.

So one plus one plus four is six.

Então, um mais um mais quatro é seis.

Add nine to that, we get 15.

Adicione nove a isso, obtemos 15.

Add 25, we get 40.

Adicione 25, obtemos 40.

Add 64, we get 104.

Adicione 64, obtemos 104.

Now look at those numbers.

Agora, olhe para esses números.

Those are not Fibonacci numbers,

Esses não são números de Fibonacci,

but if you look at them closely,

mas se você os observar de perto,

you'll see the Fibonacci numbers

você verá os números de Fibonacci

buried inside of them.

escondidos dentro deles.

Do you see it? I'll show it to you.

Você vê? Eu vou te mostrar.

Six is two times three, 15 is three times five,

Seis é dois vezes três, 15 é três vezes cinco,

40 is five times eight,

40 é cinco vezes oito,

two, three, five, eight, who do we appreciate?

dois, três, cinco, oito, quem nós apreciamos?

(Laughter)

(Risadas)

Fibonacci! Of course.

Fibonacci! Claro.

Now, as much fun as it is to discover these patterns,

Agora, por mais divertido que seja descobrir esses padrões,

it's even more satisfying to understand

é ainda mais satisfatório entender

why they are true.

por que eles são verdadeiros.

Let's look at that last equation.

Vamos olhar para aquela última equação.

Why should the squares of one, one, two, three, five and eight

Por que os quadrados de um, um, dois, três, cinco e oito

add up to eight times 13?

somam oito vezes 13?

I'll show you by drawing a simple picture.

Vou te mostrar desenhando uma imagem simples.

We'll start with a one-by-one square

Começaremos com um quadrado de um por um

and next to that put another one-by-one square.

e ao lado dele colocaremos outro quadrado de um por um.

Together, they form a one-by-two rectangle.

Juntos, eles formam um retângulo de um por dois.

Beneath that, I'll put a two-by-two square,

Abaixo disso, colocarei um quadrado de dois por dois,

and next to that, a three-by-three square,

e ao lado disso, um quadrado de três por três,

beneath that, a five-by-five square,

abaixo disso, um quadrado de cinco por cinco,

and then an eight-by-eight square,

e depois um quadrado de oito por oito,

creating one giant rectangle, right?

criando um retângulo gigante, certo?

Now let me ask you a simple question:

Agora, deixe-me fazer uma pergunta simples:

what is the area of the rectangle?

qual é a área do retângulo?

Well, on the one hand,

Bem, por um lado,

it's the sum of the areas

é a soma das áreas

of the squares inside it, right?

dos quadrados dentro dele, certo?

Just as we created it.

Assim como o criamos.

It's one squared plus one squared

É um ao quadrado mais um ao quadrado

plus two squared plus three squared

mais dois ao quadrado mais três ao quadrado

plus five squared plus eight squared. Right?

mais cinco ao quadrado mais oito ao quadrado. Certo?

That's the area.

Essa é a área.

On the other hand, because it's a rectangle,

Por outro lado, como é um retângulo,

the area is equal to its height times its base,

a área é igual à sua altura vezes sua base,

and the height is clearly eight,

e a altura é claramente oito,

and the base is five plus eight,

e a base é cinco mais oito,

which is the next Fibonacci number, 13. Right?

que é o próximo número de Fibonacci, 13. Certo?

So the area is also eight times 13.

Então, a área também é oito vezes 13.

Since we've correctly calculated the area

Já que calculamos corretamente a área

two different ways,

de duas maneiras diferentes,

they have to be the same number,

elas têm que ser o mesmo número,

and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight

e é por isso que os quadrados de um, um, dois, três, cinco e oito

add up to eight times 13.

somam oito vezes 13.

Now, if we continue this process,

Agora, se continuarmos esse processo,

we'll generate rectangles of the form 13 by 21,

geraremos retângulos na forma 13 por 21,

21 by 34, and so on.

21 por 34, e assim por diante.

Now check this out.

Agora, veja isto.

If you divide 13 by eight,

Se você dividir 13 por oito,

you get 1.625.

você obtém 1.625.

And if you divide the larger number by the smaller number,

E se você dividir o número maior pelo número menor,

then these ratios get closer and closer

então essas razões se aproximam cada vez mais

to about 1.618,

de cerca de 1.618,

known to many people as the Golden Ratio,

conhecido por muitas pessoas como a Proporção Áurea,

a number which has fascinated mathematicians,

um número que fascinou matemáticos,

scientists and artists for centuries.

cientistas e artistas por séculos.

Now, I show all this to you because,

Agora, eu mostro tudo isso a vocês porque,

like so much of mathematics,

como grande parte da matemática,

there's a beautiful side to it

há um lado bonito nela

that I fear does not get enough attention

que, temo, não recebe atenção suficiente

in our schools.

em nossas escolas.

We spend lots of time learning about calculation,

Passamos muito tempo aprendendo sobre cálculo,

but let's not forget about application,

mas não nos esqueçamos da aplicação,

including, perhaps, the most important application of all,

incluindo, talvez, a aplicação mais importante de todas,

learning how to think.

aprender a pensar.

If I could summarize this in one sentence,

Se eu pudesse resumir isso em uma frase,

it would be this:

seria esta:

Mathematics is not just solving for x,

Matemática não é apenas resolver para x,

it's also figuring out why.

é também descobrir o porquê.

Thank you very much.

Muito obrigado.

(Applause)

(Aplausos)