Você Consegue Resolver O Enigma Dos Quadrados De Mondrian? – Gordon Hamilton

Dutch artist Piet Mondrian's abstract, rectangular paintings

As pinturas abstratas e retangulares do artista holandês Piet Mondrian

inspired mathematicians to create a two-fold challenge.

inspiraram matemáticos a criar um desafio duplo.

First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles.

Primeiro, devemos cobrir completamente uma tela quadrada com retângulos que não se sobreponham.

All must be unique, so if we use a 1x4, we can't use a 4x1 in another spot,

Todos devem ser únicos, então se usarmos um 1x4, não podemos usar um 4x1 em outro lugar,

but a 2x2 rectangle would be fine.

mas um retângulo 2x2 seria aceitável.

Let's try that.

Vamos tentar isso.

Say we have a canvas measuring 4x4.

Digamos que temos uma tela medindo 4x4.

We can't chop it directly in half,

Não podemos dividi-la diretamente ao meio,

since that would give us identical rectangles of 2x4.

já que isso nos daria retângulos idênticos de 2x4.

But the next closest option... 3x4 and 1x4... works.

Mas a próxima opção mais próxima... 3x4 e 1x4... funciona.

That was easy, but we're not done yet.

Isso foi fácil, mas ainda não terminamos.

Now take the area of the largest rectangle,

Agora pegue a área do maior retângulo,

and subtract the area of the smallest.

e subtraia a área do menor.

The result is our score,

O resultado é a nossa pontuação,

and the goal is to get as low a score as possible.

e o objetivo é obter a pontuação mais baixa possível.

Here, the largest area is 12 and the smallest is 4,

Aqui, a maior área é 12 e a menor é 4,

giving us a score of 8.

nos dando uma pontuação de 8.

Since we didn't try to go for a low score that time,

Como não tentamos buscar uma pontuação baixa naquela vez,

we can probably do better.

provavelmente podemos fazer melhor.

Let's keep our 1x4

Vamos manter nosso 1x4

while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1.

enquanto dividimos o 3x4 em um 3x3 e um 3x1.

Now our score is 9 minus 3, or 6.

Agora nossa pontuação é 9 menos 3, ou seja, 6.

Still not optimal, but better.

Ainda não é o ideal, mas é melhor.

With such a small canvas, there are only a few options.

Com uma tela tão pequena, existem apenas algumas opções.

But let's see what happens when the canvas gets bigger.

Mas vamos ver o que acontece quando a tela aumenta.

Try out an 8x8; what's the lowest score you can get?

Tente um 8x8; qual é a menor pontuação que você consegue?

Pause here if you want to figure it out yourself.

Pause aqui se quiser descobrir sozinho.

To get our bearings, we can start as before:

Para nos orientar, podemos começar como antes:

dividing the canvas roughly in two.

dividindo a tela aproximadamente em duas.

That gives us a 5x8 rectangle with area 40

Isso nos dá um retângulo 5x8 com área 40

and a 3x8 with area 24,

e um 3x8 com área 24,

for a score of 16.

para uma pontuação de 16.

That's pretty bad.

Isso é muito ruim.

Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10.

Dividir esse 5x8 em um 5x5 e um 5x3 nos deixa com uma pontuação de 10.

Better, but still not great.

Melhor, mas ainda não é ótimo.

We could just keep dividing the biggest rectangle.

Poderíamos simplesmente continuar dividindo o maior retângulo.

But that would leave us with increasingly tiny rectangles,

Mas isso nos deixaria com retângulos cada vez menores,

which would increase the range between the largest and smallest.

o que aumentaria a diferença entre o maior e o menor.

What we really want

O que nós realmente queremos

is for all our rectangles to fall within a small range of area values.

é que todos os nossos retângulos fiquem dentro de uma pequena faixa de valores de área.

And since the total area of the canvas is 64,

E como a área total da tela é 64,

the areas need to add up to that.

as áreas precisam somar esse valor.

Let's make a list of possible rectangles and areas.

Vamos fazer uma lista de possíveis retângulos e áreas.

To improve on our previous score,

Para melhorar nossa pontuação anterior,

we can try to pick a range of values spanning 9 or less

podemos tentar escolher um intervalo de valores abrangendo 9 ou menos

and adding up to 64.

e somando 64.

You'll notice that some values are left out

Você notará que alguns valores são deixados de fora

because rectangles like 1x13 or 2x9 won't fit on the canvas.

porque retângulos como 1x13 ou 2x9 não cabem na tela.

You might also realize

Você também pode perceber

that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15,

que se você usar um dos retângulos com uma área ímpar como 5, 9 ou 15,

you need to use another odd-value rectangle to get an even sum.

você precisa usar outro retângulo de valor ímpar para obter uma soma par.

With all that in mind, let's see what works.

Com tudo isso em mente, vamos ver o que funciona.

Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly.

Começar com área 20 ou mais nos coloca acima do limite muito rapidamente.

But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range,

Mas podemos chegar a 64 usando retângulos na faixa de 14 a 18,

leaving out 15.

deixando de fora o 15.

Unfortunately, there's no way to make them fit.

Infelizmente, não há como fazê-los caber.

Using the 2x7 leaves a gap

Usar o 2x7 deixa uma lacuna

that can only be filled by a rectangle with a width of 1.

que só pode ser preenchida por um retângulo com largura de 1.

Going lower, the next range that works is 8 to 14,

Indo mais baixo, a próxima faixa que funciona é de 8 a 14,

leaving out the 3x3 square.

deixando de fora o quadrado 3x3.

This time, the pieces fit.

Desta vez, as peças se encaixam.

That's a score of 6.

Isso dá uma pontuação de 6.

Can we do even better?

Podemos fazer ainda melhor?

No.

Não.

We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8

Podemos obter a mesma pontuação descartando o 2x7 e o 1x8

and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6.

e substituindo-os por um 3x3, 1x7 e 1x6.

But if we go any lower down the list,

Mas se formos mais baixo na lista,

the numbers become so small

os números se tornam tão pequenos

that we'd need a wider range of sizes to cover the canvas,

que precisaríamos de uma gama maior de tamanhos para cobrir a tela,

which would increase the score.

o que aumentaria a pontuação.

There's no trick or formula here... just a bit of intuition.

Não há truque ou fórmula aqui... apenas um pouco de intuição.

It's more art than science.

É mais arte do que ciência.

And for larger grids,

E para grades maiores,

expert mathematicians aren't sure whether they've found the lowest possible scores.

matemáticos especialistas não têm certeza se encontraram as menores pontuações possíveis.

So how would you divide a 4x4,

Então, como você dividiria uma tela 4x4,

10x10,

10x10

or 32x32 canvas?

ou 32x32?

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